'Ben, manevi miras olarak hiçbir ayet, hiçbir dogma, hiçbir donmuş ve kalıplaşmış kural bırakmıyorum. Benim manevi mirasım bilim ve akıldır...Zaman süratle ilerliyor, milletlerin, toplumların, kişilerin mutluluk ve mutsuzluk anlayışları bile değişiyor. Böyle bir dünyada, asla değişmeyecek hükümler getirdiğini iddia etmek, aklın ve ilmin gelişimini inkâr etmek olur... Benim Türk milleti için yapmak istediklerim ve başarmaya çalıştıklarım ortadadır. Benden sonra beni benimsemek isteyenler, bu temel eksen üzerinde akıl ve ilmin rehberliğini kabul ederlerse, manevi mirasçılarım olurlar.'
Mustafa Kemal Atatürk

Leonardo Fibonacci ve Altın Oran


Leonardo Fibonacci’nin 1170‘li yıllarda Pisa‘da doğduğu sanılmaktadır. Adı ortaçağın en büyük matematikçileri arasında geçmesine rağmen hayatıyla ilgili pek fazla bilinen bir şey yok. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa'lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Avrupa‘da henüz Roma rakamları kullanılırken Fibonacci Arap rakamlarını ve sıfırı bu sayede öğrenir. Daha sonra da öğrendiklerini Liber Abaci adlı kitabıyla yayınlar (bu nedenle kendisine "Matematik'i Arap‘lardan alıp, Avrupa'ya aktaran kişi" denilir). Bugün kendisinin bu kadar ünlü olmasının arkasında da bu kitapta verdiği bir soru ve bu sorunun cevabı olarak ortaya çıkan dizi vardır. Liber Abaci'de yer alan problem şöyledir;
―Adamın biri dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan konmuştur. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift (dişi ve erkek) tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?
Biraz düşününce tavşan çiftleri aylara göre şu sıralamayı ortaya koymaktadır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Bu diziye de dikkatlice bakıldığında ilk iki sayı hariç her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplamına eşit.
Fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Örneğin;
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,6153846153846153846153846153846
34/21 = 1,6190476190476190476190476190476
55/34 = 1,6176470588235294117647058823529
89/55 = 1,6181818181818181818181818181818
144/89 = 1,6179775280898876404494382022472
233 / 144 = 1,6180555555555555555555555555556
377 / 233 = 1,6180257510729613733905579399142
610 / 377 = 1,6180371352785145888594164456233
Dizinin ardışık terimlerinin birbirine oranı bu şekilde bir artarak bir azalarak ilerler ama asla bir sabit değere eşit olmaz. Peki, bu dizinin limiti nedir?

Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinin birbirine oranı sonsuzda (1+ kök içinde5/2 ) oranına erişir ki bu orana altın oran adı verilir.

Altın Oran
Herhangi bir AB doğru parçası üzerinde bir C noktası için AB:AC oranına eşit oran, AC:CB oranına ortalama oran denir.

Altın Noktanın Belirlenmesi
AB doğru parçası verilmişse, sadece pergel ve cetvelle C altın noktasını bulabiliriz. B‘den AB uzunluğunun yarısı kadar bir dik çıkalım bulduğumuz noktaya X diyelim ve böylece ABX dik üçgeni elde ederiz. X merkezli XB yarıçaplı çember AX hipotenüsünü Y‘de kessin.
A merkezli AY yarıçaplı çemberin AB doğru parçasını kestiği C noktası AB‘nin altın noktasıdır.

Doğada Fibonacci Sayıları ve Altın Oran
Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır. Bitkiler âlemine genel bir bakıĢla yaklaĢıldığında ise, bitki sapları üzerindeki yaprakların dizilişinin Fibonacci dizisine
uygun olduğu görülür. Bu yargı; kavak, elma, muz, armut, karaağaç gibi birçok bitki için geçerlidir.
Tütün bitkisi yapraklarının dizilişindeki Fibonacci dizisi ise, bitkinin güneşten ve havadaki karbondioksitten optimum düzeyde faydalanmasını sağlayarak, yüksek düzeyde fotosentez yapmasına olanak verir. Bu özellik eğrelti otunda da gözlemlenmektedir.
Ayçiçeğinin üstündeki spiral şeklinde dizilmiş tohumları saat yönünde ve tersi yönde saydığımızda ardışık iki Fibonacci sayısına ulaşırız. Papatya çiçeğinde de aynı Fibonacci dizisi gözlenmektedir. Benzer bir durum çam kozalağı üzerindeki tanelerde de mevcuttur. Bu taneler kozalağın alt kısmındaki sabit bir noktadan başlayarak, tepe noktasındaki başka bir sabit noktaya doğru eğriler çizerek gelişirler ve bu gelişim sonunda taneleri soldan sağa ve sağdan sola doğru sayarsak başka bir Fibonacci dizisi elde ederiz.
Doğada Altın Oran ve Fibonacci Dizisi bu şekilde ortaya çıkmışken, insanların bu duruma kayıtsız kalması beklenemezdi.
Ünlü ressam Picasso'nun tablolarında da bu oran vardır. Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa tablosunda da bu oran vardır. Tabloların enlerinin boylarına oranı altın oranı verir. Tıpkı Mısır piramitlerinin tabanlarının yüksekliklerine oranının verdiği gibi..

Kaan TOKDEMİR
Marmara Üniversitesi Matematik Bölümü
NetBilim | Nisan 2007